Υπερχειλιση του φτωχου!!!!

[xontros]

Χρωστάω τις εξισώσεις που σας έλεγα..
(όχι ότι θα ενδιαφέρουν κανένα.. αλλά ως γνωστόν πλέον, την καταβρίσκω με κάτι τέτοια! )

Λοιπόν, έστω x το νερό που εισάγεται στο ενυδρείο και f(x) το "καινούριο" νερό που υπάρχει στο ενυδρείο.. Και τα δύο ώς ποσοστά του όγκου του ενυδρείου (οπότε f(x)<1, ενώ το x μπορεί να γίνει και >1).

Έστω ότι εισάγουμε στο ενυδρείο ποσότητα dx. Τότε, πρέπει να υπερχειλήσει ποσότητα dx! Με την παραδοχή πλήρους ανάμιξης, που συζητήσαμε, θα φύγει καινούριο και παλιό νερό, αναλογικά με τη συγκέντρωσή τους στο ενυδρείο. Θα φύγει επομένως f(x)*dx καινούριο νερό, και (1-f(x))*dx παλιό.
(για όσους είναι προχωρημένοι στα μαθηματικά, εδώ έχω κάνει ένα μπαλαμουτάκι.. και έχω παραλείψει κάποιους όρους, ως αμελητέους.. το οποίο ευσταθεί μαθηματικά, απλά δεν το περιγράφω αναλυτικά..)

Άρα η μεταβολή του καινούριου νερού, ισούται με αυτό που μπαίνει (dx) μείον αυτό που φεύγει (f(x)*dx):
df(x) = dx - f(x)*dx =>
df/dx = 1 - f(x)

Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι:
f(x) = 1 - exp(-x)

Και λύνοντας ώς προς x:
x = - ln(1-f(x))

Άρα:
απαιτούμενο_νερό(%) = - ln(1-επιθυμητή_αλλαγή(%))

Παράδειγμα: Για αλλαγή 30% προσθέτουμε -ln(1-0.3)=-ln(0.7)=0.357=35.7%

Και για να μην κάνετε πράξεις:
Για αλλαγή 10% - προσθέτουμε 10.5%
Για αλλαγή 20% - προσθέτουμε 22.3%
Για αλλαγή 30% - προσθέτουμε 35.7%
Για αλλαγή 40% - προσθέτουμε 51.1%
Για αλλαγή 50% - προσθέτουμε 69.3%
Για αλλαγή 60% - προσθέτουμε 91.6%
Για αλλαγή 70% - προσθέτουμε 120.4%
Για αλλαγή 80% - προσθέτουμε 160.9%

Υ.Γ. Ελπίζω να μην έχω κάνει κάποιο λάθος.. Πάντως βλέπω ότι συμφωνούν απόλυτα με τον Vasilizzz! Μπράβο ρε φίλε!